Improved Lighthill fish swimming model for bio-inspiredrobots - Modelling, computational aspects and experimental comparisons.§

论文归档: https://hal.science/hal-00943604

Auke Ijspeert 教授实验室 Lighthill 鱼类游动模型的几个早期版本之一, 总的来说再该领域应该算是经典之作.

流体力学界关于鱼等水中仿生运动的学说一直有些争议, 尤其是在上世纪早些时候. 不过最主流的两个就是 Lighthill 的细长理论与 Taylor 的阻力理论. 泰勒最终导出的结论认为，推力产生于阻力，虽然其作用方向与物体运动方向相反，但与速度保持一致。莱特希尔的结论则认为，推力产生于反作用力，其作用方向与作用力相反，并与加速度保持一致。这篇论文中涉及到的反馈探测, 也是本篇论文的核心, 其原理就是二者的结合.

尾鳍模型与 Lighthill 的细长体理论和(惯性)反应力模型§

库塔条件与压力差§

当机器蛇的尾鳍在水里向一侧（比如向右）加速横扫时，尾鳍的右侧（迎水面）不断挤压水流，形成高压区；尾鳍的左侧（背水面）则形成低压区。水流的本性是试图从高压区流向低压区。如果尾巴是圆钝的，高压区的水就会顺着圆滑的表面悄悄溜到背面的低压区，这在流体力学中称为边界层分离不彻底。这种溜走的水流会严重削弱两侧的压力差，能量全变成了毫无用处的拖拽阻力。

库塔条件（Kutta condition）表明, 当高压区的水试图绕过那个极度锋利的尾鳍尖角跑到背面去时，由于这个尖角的转弯半径几乎为零，流体方程解算确定：水流在这个尖角处的流速必须达到无限大，才能贴着边缘绕过去。

但现实物理世界不允许无限大的速度存在。因此，水流在到达这个锋利边缘的瞬间，发生了强制性断裂（流体分离）。水流无法绕到背面，只能顺着尾鳍摆动的切线方向，笔直地冲出去。这个尖锐的边缘封死了水流乱跑的路径，让尾鳍两侧的压力差达到了最大极限。

Lighthill 模型与卡门涡街§

在上面的基础上, 水流被尖锐边缘强制切断后，并不是安静地流走。因为尾鳍在持续摆动，那些被边缘强行剥离的高压水流会在尾鳍尖端剧烈卷曲，形成一个个高速旋转的水漩涡（涡流）。

Lighthill 模型证明了推力等同于由锋利后缘产生的涡流。每当尾鳍向右摆到头，准备向左反转时，这个锋利的边缘会切断刚刚形成与自己周围液体连接在一起的漩涡, 完整地扔在身后。随着尾鳍不断地左右往复摆动，它会在身后交替扔下一串排列极其规律的反向卡门漩涡.

这一串交替脱落的漩涡彼此之间的旋转方向是相反的。这种反向旋转的相互作用力，会在这些漩涡的正中间区域挤压出一条向正后方高速喷射的水流通道，即射流。

根据动量守恒定律，尾鳍向正后方喷射出带有质量和速度的水柱，机器蛇自然就获得了方向严格向前的反作用力，即推力。

二维切片法§

Lighthill 理论（反应力模型）中有一个极端的物理假设：假设水是完全没有粘性的（完美流体假设）。在没有粘性的假设下，水流滑过蛇的表面时，不会产生任何切向的摩擦力。因此，在这个纯理论框架内，沿着长条方向的纵向受力直接被强制为零。这就是所谓的，反应力模型。

既然纵向力被排除了，流体对蛇身体的力就只剩下垂直于表面的压力。当这个截面在它的二维平面内横向加速移动时，它会强行挤压前方(例如二维截面的左边)的水体，导致前方(左边)水压升高，后方(右边)水压降低。这种由横向加速度引起的纯压力差，就是流体给予截面的局部反作用力, 我们称为反应力.

Note

当然, 仅用这种忽略纵向方向的方式解算出来的结果势必是极不准确的. 这正是这篇论文的价值所在, 它在传统的单纯反应力模型基础上用泰勒阻力模型（Taylor-like resistive model）补充考虑了纵向的阻力.

不过这里又有个新的问题, 这种反应力应该怎么算出来呢? 纯压力差的量化难度是显而易见巨大的, 因此我们采用更简单的一种方式, 也就是朴素的牛顿第二定律: \(F=ma\). 由于不同. 涉及到的反应力具体计算公式如下所示(这是论文作者他们结合已有成熟的公式混合结合得到的工程公式):

\[ F_{reac,j} = -\mathcal{M}_{reac,j}\dot{\eta}_j - \beta_{reac,j} - \beta_{reac,j}^- - \beta_{reac,j}^+ \]

注意, 上述公式中 \(\beta_{reac,j}\) 与 \(\beta_{reac,j}^-\) 和 \(\beta_{reac,j}^+\) 是速度修正项:

\(\beta_{reac,j}\)：这是由流体附加质量产生的科里奥利力和离心力。当机器蛇一边平移一边旋转时，流体也会产生复杂的非线性受力，这一项完全由当前的运动速度决定。
\(\beta_{reac,j}^-\) 和 \(\beta_{reac,j}^+\)：这是两端的边界力。由于这段身体是截取出来的，水流会跨越它的头部和尾部边界（流入和流出）。这两项用来修正流体动量进出这段身体控制体积时带来的力学变化。

其中各运动分量方向等效附加质量的张量 \(\mathcal{M}_{reac,j}\) 的计算公式:

\[ \mathcal{M}_{reac,j} = \frac{C_m \rho_f \pi h^2}{4} (n_j n_j^T) \]

Resistive Force Theory 泰勒阻力理论§

简单来说, 对于极其细长的物体，水流垂直冲击它侧面所产生的法向阻力系数，远远大于水流顺着它表面滑过所产生的切向摩擦阻力系数。在典型的低雷诺数下，法向阻力通常是切向阻力的两倍左右。这也是蛇, 鳗鱼这类鱼鳍效果相对较差的生物能够在水中游动的核心原因.

Note

这里实际上也说明了一点, 要想在陆地上实现类似于蛇形机器人盘旋前进, 关键是需要找到和流体中低雷诺数效应相似的法向阻力高于切向阻力的材料.

而原版二维切片法的核心假设是局部独立——每个切片只管自己横向推水，切片和切片之间互不影响。这个假设要求每一个切片面对的都是绝对干净、静止的水。

但现实情况是, 首先, 水是有粘性的, 机器蛇在水中运动时，绝对紧贴在机器蛇皮肤表面的那薄薄一层水分子，是被蛇体外表面完全吸附的，它的运动速度和皮肤完全一样。而离皮肤越远的水分子，受到的这种“抓住”的牵扯力就越小，直到一定距离外，水流才恢复成完全不受机器蛇影响的静止状态。

而水流在经过极其漫长的身体时，由于摩擦力的不断累积，前面的身体段把水带着有了初速度，后面的身体段在这个基础上被继续拖拽。这就导致越往蛇的后半段走，被它带着一起跑的、水流范围就越宽。也就是说，边界层的厚度沿着身体长度在不断增加。

因为边界层不断增厚，位于机器蛇身体后半段的切片，根本没有直接接触到干净静止的水。它们实际上是被包裹在一层由前半段身体搅动出来的、又厚又慢的水之中。换句话说, 公式中的理论附加质量张量会随着不断地增大, 造成极大的误差(这就是前面引入的 \(\beta_{reac}^-\) 和 \(\beta_{reac}^+\)). 并且, 因为这个边界层变厚，水流在流到尾巴时，能量已经在沿途的摩擦中消耗掉了一部分。到达尾鳍的动能没有原版鱼类模型预期的那么大，因此尾端甩出的绝对推力数值在整体比例中下降了(也就是说, 造出来的蛇体越长, 那么尾鳍对运动的贡献就越小).

因此, 这篇论文通过引入 RFT, 也就是泰勒阻力理论, 来补全前面提到的这一点.

另外一些可供参考的资料:

https://www.youtube.com/watch?v=LDYDMqJSD90